aksioma lapangan

Sistem Bilangan Real

Defenisi 1.4

“ Sistem bilangan real” adalah himpunan bilangan real R yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, dinotasikan dengan : “    ( R , + , x )”.

    

Pada sistem bilangan real, diperlukan tiga aksioma, yaitu aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan.

• “Aksioma Lapangan”  adalah aksioma yang mengatur tentang ketertutupan   terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, sifat kumulatif, asosiatif, distributive, dan terdapatnya unsur kesatuan 0 dan 1, serta terdapatnya unsur invers terhadap penjumlahan dan perkalian.  Dari aksioma ini dapat dibuktikan berbagai sifat yang mendasari operasi aljabar atas berbagai objek kalkulus, yaitu konstanta, peubah dan parameter.
• “Aksioma Urutan” adalah aksioma yang mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan negatif, sehingga setiap bilangan  real dapat diurutkan dari  sampai besar.  Dari aksioma ini pula dapat diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu pertidaksamaan.  Selanjutnya dirancang konsep nilai mutlak sebagai ukuran jarak dua bilangan real dan suatu alat untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang berkaitan dengan limit.
• “Aksioma Kelengkapan”, aksioma ini mengatur tentang adanya batas atas terkecil atau batas bawah terbesar bagi setiap himpunan bagian R yang tidak kosong dan terbatas diatas atau dibawah.  Selanjutnya terdapatnya korespondensi satu-satu diantara bilangan real dan titik pada garis, dan diantara dua bilangan  real terdapat tak terhingga banyaknya bilangan rasional dan irrasional, kemudian diperkenalkan konsep selang hingga  dan selang tak hingga, yang akan berperan dalam kalkulus.

1.2.1  Aksioma Lapangan

          Pandang ( ) adalah sistem bilangan real, dan misalkan  , maka berlaku sifat-sifat berikut :

1. ·         (Sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan) dan

·             (Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian)

2.  ·     (Sifat komutatif terhadap penjumlahan) dan

·            (Sifat komutatif terhadap perkalian)

3.  ·    (Sifat assosiatif terhadap penjumlahan) dan

·     (Sifat assosiatif terhadap perkalian).

4.         (Sifat distributif)

5.  · Terdapat unsur , sehingga   dan

     · Terdapat unsur   , sehingga  .

Bilangan 0 disebut unsur kesatuan terhadap penjumlahan dan Bilangan 1 disebut unsur kesatuan terhadap perkalian

6.  · Terdapat unsur invers  sehingga  dan

      · Terdapat unsur invers , sehingga  .

    Bilangan real dinamakan “lawan” atau “negatif” dari , dan  Bilangan real  dinamakan “kebalikkan “ dari .

Adapun operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan real didefinisikan sebagai berikut :

Defenisi 1.5 Misalkan  Ø  Pengurangan dari  dan disebut “selisih”  dari  dan , ditulis  , didefenisikan sebagai bilangan real   Ø  Pembagian dari  dan  disebut “hasil bagi” dari  dan , ditulis  dan      didefenisikan sebagai bilangan real .

Berdasarkan aksioma lapangan diatas, kita dapat membuktikan berbagai sifat-sifat aljabar bilangan real berikut, yang sering digunakan sebagai operasi aljabar dalam menyelesaikan soal matematika, sebagaimana dalam teorema berikut :

Sistem Bilangan Real

Defenisi 1.4

“ Sistem bilangan real” adalah himpunan bilangan real R yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, dinotasikan dengan : “    ( R , + , x )”.

    

Pada sistem bilangan real, diperlukan tiga aksioma, yaitu aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan.

• “Aksioma Lapangan”  adalah aksioma yang mengatur tentang ketertutupan   terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, sifat kumulatif, asosiatif, distributive, dan terdapatnya unsur kesatuan 0 dan 1, serta terdapatnya unsur invers terhadap penjumlahan dan perkalian.  Dari aksioma ini dapat dibuktikan berbagai sifat yang mendasari operasi aljabar atas berbagai objek kalkulus, yaitu konstanta, peubah dan parameter.
• “Aksioma Urutan” adalah aksioma yang mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan negatif, sehingga setiap bilangan  real dapat diurutkan dari  sampai besar.  Dari aksioma ini pula dapat diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu pertidaksamaan.  Selanjutnya dirancang konsep nilai mutlak sebagai ukuran jarak dua bilangan real dan suatu alat untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang berkaitan dengan limit.
• “Aksioma Kelengkapan”, aksioma ini mengatur tentang adanya batas atas terkecil atau batas bawah terbesar bagi setiap himpunan bagian R yang tidak kosong dan terbatas diatas atau dibawah.  Selanjutnya terdapatnya korespondensi satu-satu diantara bilangan real dan titik pada garis, dan diantara dua bilangan  real terdapat tak terhingga banyaknya bilangan rasional dan irrasional, kemudian diperkenalkan konsep selang hingga  dan selang tak hingga, yang akan berperan dalam kalkulus.

1.2.1

6.  · Terdapat unsur invers  sehingga  dan

      · Terdapat unsur invers , sehingga  .

    Bilangan real dinamakan “lawan” atau “negatif” dari , dan  Bilangan real  dinamakan “kebalikkan “ dari .

Adapun operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan real didefinisikan sebagai berikut :

Berdasarkan aksioma lapangan diatas, kita dapat membuktikan berbagai sifat-sifat aljabar bilangan real berikut, yang sering digunakan sebagai operasi aljabar dalam menyelesaikan soal matematika, sebagaimana dalam teorema berikut :