volume benda

1.2.Volume Benda Putar dengan Integral

Apakah yang disebut volume ? Kita mulai dengan benda-benda sederhana yang disebut tabung lingkaran tegak, tiga diantaranya diperlihatkan pada gambar 15. Dalam tiap kasus benda itu diperoleh dengan cara mengerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh h  dengan arah benda itu diperoleh dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda didefinisikan sebagai luas alas A dikalikan tinggi h, yakni

h A

h                                                                                       A

A                                   h

Gambar 15

Buatlah selang partisi [a,b] dengan menyisipkan titik – titik

                                                                                                                                        

 

                                                                   

A(x)

                                   

              a                                 x                               b             a                                                                 b

                                                                                                                              

                    Gambar 16                                                                    Gambar 17

(Ingatlah bahwa , disebut titik contoh, adalah sebarang bilangan pada ) dan “volume” benda pejal V, seharusnya dapat dihampiri dengan jumlah Riemann

Seperti halnya untuk luas, proses ini kita sebut iris, hampiri, integrasikan.  Hal ini diilustrasikan dalam contoh – contoh berikut ini.

Benda Putar : Metode Cakram   Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada sisi dari sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu akan membentuk sebuah benda putar. Garis tetap tersebut dinamakan sumbu benda putar.

sumbu                                                                       Gambar 18

sumbu Gambar 19

sumbu                 Gambar 20

Contoh

1.      Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R  yang dibatasi oleh kurva    , sumbu x, dan garis  apabila R  diputar mengelilingi sumbu

Penyelesaian

Daerah R, dengan suatu irisan tertentu, diperagakan pada bagian kiri gambar 21. Bilamana diputar mengelilingi sumbu , daerah ini akan membentuk benda putar dan irisan membentuk sebuah cakram, benda tipis yang membentuk seperti mata uang.

y                                                                                                                                           x                x                      4 gambar 21
Gambar 21

Dengan mengingat volume suatu tabung lingkaran tegak adalah   , kita hampiri volume cakram ini,  yaitu  dan kemudian kita integrasikan.

2.      Tentukan volume benda yang berbentuk dari pemutaran daerah yang dibatasi oleh kurva  sumbu  dan garis  mengelilingi sumbu  (gambar 22)

y                                   3                                                                                                                Gambar 23 (a)	Gambar 23 (b) Penyelesaian Disini kita mengiris secara mendatar, yang membuat   y  pilihan yang cocok sebagai peubah integrasi. Perhatikan bahwa  setara dengan   dan  Volumenya menjadi
Gambar 24	Metode Cincin     Ada kalanya pengirisan suatu benda putar menghasilkan cakram-cakram dengan lubang di tengahnya . Daerah yang demikian kita sebut  Cincin.

Soal – soal  Latihan

1.      Metode Cincin    Tentukan volume benda yang dibentuk dengan memutar mengelilingi sumbu x , daerah yang dibatsi oleh parabola – parabola   dan .

2.      Daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh    dan sumbu y  mengelilingi garis . Susunlah integral yang menyatakan volumenya.

3.      Andaikan alas sebuah benda pejal berupa daerah rata pada kuadran pertama yang dibatasi oleh  sumbu x  dan sumbu  y.  Anggaplah penampang yang tegak lurus pada sumbu x berbentuk bujur sangkar. Tentukan volume benda itu.

4.      Alas sebuah benda berupa daerah diantara busur  dan sumbu  berupa sebuah segitiga sama sisi yang berdiri pada alas ini (gambar 24)

                                                                                                                

                                                                               

                                                        Gambar 25

Volume Benda Putar :Kulit Tabung

Terdapat cara lain untuk mencari volume benda putar – yakni metode kulit tabung. Untuk banyak persoalan, metode ini lebih mudah digunakan ketimbang metode cakram atau metode cincin.

Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang terpusat (gambar 26). Jika jari – jari dalam adalah  dan jari – jari luar adalah , dan tinggi tabung adalah   maka volumenya diberikan oleh

Gambar  26

Persamaan , yang kita tandai dengan  r, adalah rata-rata  dan . Jadi,

Tinjaulah suatu daerah semacam yang diperlihatkan pada gambar  27. Daerah ini secara tegak dan kemudian putar mengelilingi sumbu y. Maka akan terbentuk sebuah benda putar dan tiap irisan akan membentuk sebuah potongan yang menyerupai kulit tabung. Untuk memperoleh volume benda ini, kita hitung volume suatu kulit  tabung   jumlahan, dan kemudian ambillah limitnya apabila tebal kulit tabung menuju nol. Tentu saja yang terakhir adalah integral.

y                                                   f(x) x            a                       b                    x		y
Gambar   27

Contoh

Daerah yang dibatasi oleh kurva  , sumbu  dan  diputar mengelilingi sumbu . Tentukukan volume benda yang terbentuk.

Penyelesaian

Dari gambar 27, kita dapat melihat bahwa volume kulit tabung diperoleh dari irisan.

      Dimana, untuk  , menjadi

Volume benda itu dicari lewat integrasi

  

                            

1.3.     Kerja     Dalam fisika, kita mempelajari bahwa jika suatu benda bergerak sejauh d  sepanjang suatu garis, sementara benda itu dikenai gaya konstan F  searah dengan arah gerak benda tersebut, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya itu adalah

                                       Kerja = (Gaya).(Jarak)

       atau

                                                          W = F.d

Jika gaya diukur dalam newton (gaya yang dibutuhkan untuk memberikan percepatan 1 meter perdetik kuadrat pada sebuah masa 1 kilogram), maka kerja dalam newton-meter juga disebut joule. Jika gaya diukur dalam pound dan jarak dalam kaki, maka kerja adalah pound-kaki. Misalnya seorang pekerja mengangkat beban (gaya) 3 newton pada jarak 2 meter, berarti melakukan kerja 3.2=6 joule. Dan seorang pekerja mendorong gerobak dengan gaya konstan sebesar 150 pound  sejauh 20 kaki, melakukan kerja sebesar (150)(20)=3000 pound-kaki. 

    Di dalam situasi praktis, gaya itu tidak konstan, tetapi agak bervariasi seraya benda itu bergerak sepanjang garis. Pada kenyataannya, andaikan bahwa benda sedang bergerak  sepanjang sumbu x  dari a ke b  terhadap gaya peubah sebesar  F(x)  di titik x , dengan F  suatu fungsi kontinu. Berapa besar  kerja yang dilakukan ? Sekali lagi, kata-kata iris, hampiri, integrasikan, mengantar kita ke suatu jawaban. Dalam hal ini, iris  berarti mempartisikan selang [a,b] menjadi potongan-potongan kecil; hampiri bermakna mengandaikan bahwa potongan khas dari    ke  , gaya adalah konstan dengan nilai F(x), jika gayanya konstan (dengan nilai  sepanjang selang , maka kerja yang diperlukan untuk memindahkan benda dari    ke  adalah     (gambar 28). Integrasikan  berarti jumlahkan semua keeping kerja yang berpadanan terhadap potongan   dan kemudian ambil limit seraya panjang potongan mendekati nol. Jadi kerja yang dilakukan untuk menggerakkan benda dari a,b  diberikan oleh